Математичний гурток "Фрактал"

http://lol54.ru/uploads/posts/2015-02/1422988383_014.gif

 "Найвище призначення математики – знаходити порядок у хаосі, який нас оточує"

Н. Вінер

 

ФРАКТАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ ПРИРОДИ

«Перед нами виникає загадка, яка хвилювала дослідників усіх часів. Чому можлива така чудова відповідність математики і дійсних предметів, якщо сама вона є витвором людської думки, незалежним від усякого досвіду? Чи в змозі людський розум без будь-якого досвіду, шляхом тільки одних міркувань відкрити основу існуючих речей?»

А. Ейнштейн

Ніжинський професійний ліцей побуту та сервісу

Чернігівської області 

План роботи математичного гуртка

 «Фрактал»

на 2015 – 2016 н. р.

№ п/п	Зміст роботи	Термін виконання	Кількість годин
І семестр
1	Організаційне заняття	Вересень	1
2-3	Фрактальна геометрія природи	Вересень Жовтень	2
4	Просторові фігури. Правильність побудови	Жовтень	1
5	Прикладна спрямованість стереометрії	Листопад	1
6-7	Підготовка до проведення тижня математики та інформатики. Випуск математичного бюлетеня	Листопад-Грудень	2
8	Виготовлення наочних моделей геометричних фігур	Грудень	1
ІІ семестр
9	Заслуховування доповідей учнів	Січень	1
10	Підготовка учнів до участі в обласній олімпіаді з математики та інформатики	Січень	1
11	Пошук інформації за допомогою мережі Інтернет (змінний матеріал на стенд)	Лютий	1
12-13	Побудова фрактальних поверхонь в комп'ютерній графіці	Лютий-Березень	2
14	Практичне застосування математики (заслуховування доповідей учнів різних професій)	Березень	1
15	Кути у стереометрії	Квітень	1
16	Многогранники	Квітень	1
17-18	Екскурсія на тему «Практичне застосування математики та інформаційних технологій в умовах місцевого промислового виробництва» (навчальні майстерні)	Травень	2
19	Підсумкове заняття. Екскурсія на тему «Математика поза навчальним закладом»	Червень	1

 
www.youtube.com/watch?t=1071&v=pYHSNFNxy50&noredirect=1

Евклідова геометрія, що оперує такими геометричними об'єктами як трикутники, квадрати, круги, паралелограми, паралелепіпеди, піраміди, кулі, призми, безсила при описі складних природних об'єктів. Дійсно, типові об'єкти евклідової геометрії не часто зустрічаються в природі.

Наприклад, гора при віддаленому розгляді здається конусом, але при наближенні вона виявляється покрита скелями і каменями, тут її поверхня вже далека від ідеальної поверхні конуса. Якщо блискавку описувати ламаною лінією, то при зменшенні масштабу ми побачимо, що кожен з відрізків також необхідно описувати своєю ламаною лінією, відрізки якої, при ще більш дрібному масштабі виявляються ламаними.

«Чому геометрію часто називають холодною і сухою? Одна з причин полягає в її нездатності описати форму хмари, гори, дерева або берега моря. Хмари - це не сфери, гори - не конуси, лінії берега - це не кола, і гора не є гладкою, і блискавка не поширюється по прямій. Природа демонструє нам не просто вищий ступінь, а зовсім інший рівень складності», - цими словами починається  «Фрактальна геометрія природи», написана Бенуа Мандельбротом.

Описати деякі природні об'єкти (форму хмари, поверхню каменя, крону дерева, блискавку і безліч інших) за допомогою евклідової геометрії неможливо, оскільки вони виходять за її рамки. Більшість природних об'єктів є фрактальними і можуть бути описані за допомогою фрактальної геометрії, яка має математичний апарат для опису складних самоподібних структур. Наприклад, щоб описати сніжинку в класичній геометрії необхідно задати координати кожної її точки в просторі. У фрактальні геометрії для опису сніжинки досить задати три параметри - фрактальну розмірність, розмір первинного блоку і лінійний розмір сніжинки в цілому.

Фрактал - це геометрична фігура, певна частина якої повторюється знову і знову, змінюючись в розмірах. Звідси випливає принцип самоподібності. Всі фрактали подібні самим собі, тобто вони схожі на всіх рівнях.

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт.

Багато об'єктів в природі (наприклад, людське тіло) складаються з безлічі фракталів, змішаних один з одним, причому кожен фрактал має свою розмірність відмінну від розмірності інших. Ми оточені фрактальними системами. Властивості таких систем незвичайні. Різні властивості фрактальних систем залежать від розмірності.

Фрактальнимі властивостями володіють багато географічних  об'єктів - океанські і морські узбережжя, річки і гірські хребти, кордони держав, видимі межі хмар. На кілометровому відрізку узбережжя виглядає таким же порізаним, як і на стокілометровому. Тобто, криві, подібні до кривої Коха, в природі становлять швидше правило, ніж виняток. 

Оскільки самоподібність реальних природних об'єктів обмежена, то такі об'єкти можуть бути розглянуті як фрактальні, якщо самоподібність (хай і не точна) спостерігається при значному розходженні між мінімальним і максимальним масштабом об'єкта. Наприклад, для морського узбережжя максимальний масштаб буде порядку 1000 км, а мінімальний порядку 1 - 10 м. Ці масштаби відрізняються в мільйон разів.

Розмірність самоподібності можна виміряти тільки для дуже регулярних, побудованих за строго визначеними правилами, об'єктів, наприклад, для кривої Коха. У випадку різних фізичних систем, коли відхилення від самоподібності великі, розмірності вимірюються експериментально.

Побудова кривої Коха

Фрактальними властивостями володіють і поверхня активованого вугілля, що використовується в якості сорбенту. Розмірність цієї поверхні більше 2, вона має надзвичайно велику площу через безліч виїмок всіх масштабів, які здатні зловити і втримати частинки будь-яких розмірів.

Тут була згадана лише мала частина природних об'єктів, що мають фрактальної будову. А якщо більшість природних об'єктів має фрактальну структуру, то чи є саме тривимірним наш простір? Виявляється фрактальна розмірність визначать вид багатьох, звичних нам, фізичних законів. Аналіз даних по перевірці фізичних законів, вид яких залежить від розмірності простору показав, що його розмірність відрізняється від 3 не більше ніж на 10-10. Наше простір справді «дуже тривимірний».

Хіміки вже здатні направлено синтезувати фрактальні частинки з заданої розмірністю. Властивості таких речовин сильно відрізняються від властивостей їх полімерних аналогів мають ту ж молекулярну масу. Наприклад, вони можуть кипіти при незвично низькій температурі, добре розчинятися і мати незвичайні оптичні властивості. Все це пов'язано з їх фрактальної структурою та її розмірністю.

Вже близько півстоліття в біології відомий закон, який стверджує, що багато властивостей організмів, від тривалості життя та кількості дитинчат до швидкості обміну речовин, пропорційні масі тіла в степені n / 4, де n - ціле. При цьому сама природа закону понад півстоліття залишалася загадкою. На перший погляд, замість четвірки повинна бути трійка, оскільки маса пропорційна кубу розміру тіла.

Кілька років тому пояснення, було знайдено. Справа в тому, що мережі, які пронизують кожен організм - кровоносна у тварин або капілярна у рослин - володіють властивостями фракталів. Фрактальність цих мереж як раз і призводить до додавання ще одного "виміру" у живих організмів.

У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких, як турбулентний плин рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари і т. п. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії. У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин).

 

Фрактальний малюнок

 листок папороті

Капуста Romanesco broccoli демонструє дуже дрібні природні фрактали

Фрактальні тріщини з'являються на DVD диску після обробки мікрохвильовим випроміненням

Поверхня гір може моделюватись на комп'ютері з використанням фракталів: починати з трикутника в тривимірному просторі та з'єднати центральні точки кожного ребра відрізками, отримуючи 4 трикутники. Центральні точки потім зсуваються догори або донизу на випадкову відстань у фіксованому діапазоні. Процедура повторюється зі зменшенням діапазону на кожній ітерації вдвічі. Рекурсивна природа алгоритму гарантує, що ціле є статистично подібним до кожної з деталей.

 

Фрактал, який моделює поверхню гори